Txawv calculus zog ntawm ib tug thiab ob peb tsiaj ntawv

Txawv calculus yog ib ceg ntawm zauv tsom xam, uas tshuaj xyuas qhov derivative, differentials thiab lawv cov kev siv nyob rau hauv txoj kev tshawb no ntawm kev khiav dej num.

Cov zaj dab neeg ntawm

Txawv calculus sawv raws li ywj siab kev qhuab qhia nyob rau hauv lub thib ob ib nrab ntawm lub xyoo pua 17th, ua tsaug rau tus ua hauj lwm ntawm Newton thiab Leibniz, uas formulated qhov yooj yim cov kev cai nyob rau hauv lub xam ntawm differentials thiab pom kev twb kev txuas ntawm kev koom ua ke thiab ntau yam zoo. Txij li thaum qhuab ntuas nws, tsim nrog rau lub xam ntawm integrals, li no constituting lub hauv paus ntawm cov zauv tsom xam. Cov tsos ntawm cov calculi qhib ib tug tshiab niaj hnub lub sij hawm nyob rau hauv cov zauv ntiaj teb no thiab tshwm sim los ntawm tshwm sim los ntawm tshiab disciplines nyob rau hauv science. Tsis tas li ntawd ncua tau thov lej nyob rau hauv lub natural sciences thiab engineering.

tswv yim

Txawv calculus yog raws li nyob rau hauv qhov siv lub tswv yim ntawm kev kawm txog zauv. Lawv yog: ib tug tiag tiag tooj, laaj thiab kev txwv ntawm muaj nuj nqi. Tom qab ib lub sij hawm, lawv muaj npaum li cas ib tug niaj hnub saib, ua tsaug rau ib thiab differential calculus.

Tus txheej txheem ntawm kev tsim

Tsim kom muaj lub differential calculus nyob rau hauv daim ntawv ntawm ib daim ntawv thov, thiab ces tus scientific method tshwm sim ua ntej lub rov tshwm sim ntawm philosophical kev tshawb xav, uas yog tsim los ntawm Nikolay Kuzansky. Nws ua hauj lwm yog xav tau ib tug evolutionary txoj kev loj hlob los ntawm lub ancient science ntawm kev txiav txim. Txawm tias muaj tseeb hais tias cov philosopher nws tus kheej tsis yog ib tug mathematician, nws pab mus rau txoj kev loj hlob ntawm zauv science yog undeniable. Cusa, yog ib tus thawj tawm ntawm qhov kev xam ntawm xam raws li lub tshaj plaws yog science, lej muab lub sij hawm mus rau hauv nqe lus nug.

Nyob rau hauv ancient daim ntawv thom nug universal kauj yog ib chav tsev, thaum lub philosopher npaj siab ua ib tug tshiab kev ntsuas infinity rov qab lub caij nyoog tooj. Nyob rau hauv kev twb kev txuas nrog rau qhov no inverted sawv cev ntawm cov neeg nyob rau hauv lej science. Kev paub, nyob rau hauv nws saib, yog muab faib mus rau hauv muaj kuab thiab ntse. Qhov thib ob yog ntau yog, raws li tus paub txog, txij thaum lub qub muab tsuas approximate tau.

lub tswv yim

Lub tswv yim yooj yim thiab lub tswvyim ntawm differential calculus txuam nrog cov kev ua nyob rau hauv ib tug me me lub zej zog ntawm cov ntsiab lus. Rau qhov no nws yog tsim nyog los tsim ib tug lej apparatus mus ua kev tshawb fawb uas nws tus cwj pwm nyob rau hauv ib tug me me lub zej zog ntawm cov ntsiab lus ntsia ze rau tus cwj pwm ntawm ib tug linear muaj nuj nqi los yog ib tug polynomial. Raws li lub ntsiab txhais no ntawm derivative thiab differential.

Lub rov tshwm sim ntawm lub tswvyim ntawm tus derivative twb tshwm sim los ntawm ib tug loj tus naj npawb ntawm cov teeb meem ntawm tej yam ntuj tso sciences thiab lej, uas coj mus rau qhov kev txiav txim ntawm kev txwv qhov tseem ceeb ntawm tib hom.

Ib tug ntawm lub ntsiab yam uas yog muab raws li ib qho piv txwv, pib nrog tus hiob tsev kawm ntawv cov chav kawm ntawv, yog los mus txiav txim cov kev ceev ntawm cov lus tsa suab ntawm ib tug taw tes nyob rau hauv ib tug ncaj kab thiab tsim kho ntawm lub tangent kab no nkhaus. Lub differential txuas rau qhov no, vim nws yog ua tau rau kwv lam muaj nuj nqi nyob rau hauv ib tug me me lub zej zog ntawm lub taw tes rau ntawm ib tug linear muaj nuj nqi.

Piv nrog rau lub tswvyim ntawm derivative ntawm ib tug muaj nuj nqi ntawm ib tug tiag tiag nce mus nce los, lub ntsiab txhais ntawm differentials tsuas kis rau cov nuj nqi ntawm lub tuam xwm, nyob rau hauv particular cov duab ntawm ib tug Euclidean qhov chaw mus rau lwm lub.

derivative

Cia tus taw tes tsiv nyob rau hauv cov kev taw qhia ntawm cov y-axis, rau lub sij hawm peb tau x, uas yog ntsuas los ntawm thaum pib ntawm ib tug lub sij hawm ntawd. Piav xws li ib tug lub zog yog tau los ntawm cov kev ua y = f (x), uas yog txuam rau txhua lub sij hawm point x tswj tawm point. Qhov no muaj nuj nqi hu nyob rau hauv mechanics coj kev cai lij choj ntawm cov lus tsa suab. Lub ntsiab yam ntxwv ntawm cov lus tsa suab, tshwj xeeb yog sis tsis ncaj, yog tus instantaneous tshaj tawm. Thaum tus taw tes yog tsiv raws y-axis raws li cov kev cai lij choj ntawm mechanics, lub random lub sij hawm taw tes nws acquires tswj x f (x). Nyob rau hauv lub sij hawm point x + Δh, qhov twg Δh nruab nrab yog cov increment ntawm lub sij hawm, nws yuav kordinaty f (x + Δh). Yog li tsim mis Δy = f (x + Δh) - f (x), uas yog hu ua ib tug increment muaj nuj nqi. Nws yog ib tug taw tes ntawm txoj kev traversed thaum lub sij hawm lub sij hawm ntawm x rau x + Δh.

Nyob rau hauv kev twb kev txuas nrog qhov tshwm sim ntawm cov tshaj tawm thaum lub sij hawm derivative yog xeem. Lub derivative ntawm tej kev ua thaum ib taag taw tes hu ua cov kev txwv (piv txwv tias yog nws tshwm sim). Nws yuav raug xa mus rau tej yam cim:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, Df (x).

Tus txheej txheem ntawm kev xam cov derivative ntawm hu ntau yam zoo.

Txawv calculus zog ntawm ob peb ntau yam

Qhov no yog hos thaum xam xyuas muaj nuj nqi txoj kev tshawb no, ob peb tsiaj ntawv. Thaum muaj ob ntau yam x thiab y, ib nrab derivative txoj x at the point A yog hu ua tus derivative ntawm no muaj nuj nqi nyob rau hauv x nrog ib taag y.

Tej zaum yuav qhia los ntawm cov nram qab no cov cim:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x thiab ∂f (x, y) '/ ∂x.

Yuav tsum tau kev txawj ntse

Nyob rau hauv thiaj li yuav ntse kawm thiab muaj peev xwm mus daws tau diffury yuav tsum tau kev txawj ntse nyob rau hauv kev koom ua ke thiab ntau yam zoo. Kom nws yooj yim rau to taub lub differential sib npaug, yuav tsum to taub lub ntsiab lus derivative thiab indefinite ib. Tsis tas li ntawd tsis raug mob kom paub mus nrhiav tus derivative ntawm lub implicit muaj nuj nqi. Qhov no yog vim lub fact tias nyob rau hauv tus txheej txheem ntawm txoj kev kawm yuav feem ntau siv integrals thiab ntau yam zoo.

Hom differential sib npaug

Zoo tag nrho cov tswj kev ua hauj lwm uas txuam nrog tus thawj txiav txim differential sib npaug, muaj 3 hom sib npaug: homogeneous, nrog separable variables, linear inhomogeneous.

Tseem muaj ntau tshaj tsawg hom sib npaug nrog tag nrho differentials, Bernoulli tus kab zauv, thiab lwm tus neeg.

Fundamentals kev daws teeb meem

Yuav pib, peb yuav tsum nco ntsoov yog algebraic kab zauv ntawm lub tsev kawm ntawv cov kev kawm. Lawv muaj lub zog thiab ua zauv. Nyob rau hauv thiaj li yuav daws tau cov pa kab zauv yuav tsum nrhiav tau ntau ntawm cov zauv uas siav qee mob. Feem ntau, cov equations muaj ib tug hauv paus, thiab rau validation yuav tsum tau tsuas hloov cov nqi no mus rau hauv qhov chaw tsis paub hais tias.

Lub differential kab zauv zoo ib yam li no. Nyob rau hauv kev, ib tug kab zauv ntawm thawj thiaj li muaj:

• Independent kuj sib txawv thiab.
• Ib tug derivative ntawm cov thawj muaj nuj nqi.
• Muaj nuj nqi los yog nyob nce mus nce los.

Nyob rau hauv tej rooj plaub, tej zaum yuav muaj tsis muaj ib tug tsis paub hais tias, x los yog y, tab sis nws tsis yog raws li ib qho tseem ceeb raws li nws yog tsim nyog los muaj thawj derivative, uas tsis muaj kev ua derivatives rau cov tshuaj thiab cov differential calculus muaj tseeb.

Daws tau qhov txawv kab zauv - nws txhais tau hais tias nrhiav tau lub teeb ntawm tag nrho cov kev khiav dej num uas haum muab kev qhia. Tej poob lawm ntawm kev khiav dej num yog feem ntau hu ua cov kev tshuaj kev tswj.

integral calculus

Integral calculus yog ib tug ntawm cov seem ntawm zauv tsom xam, uas tshuaj xyuas lub tswvyim ntawm ib, lub zog thiab txoj kev nws muab xam.

Feem ntau muab xam rau ntawm lub ib tshwm sim thaum xam xyuas cov cheeb tsam ntawm ib tug curvilinear zoo. Los ntawm qhov no txhais tau ib tug txwv cheeb tsam, ntawm uas ib tug predetermined cheeb tsam ntawm lub inscribed polygon zoo nrog ib tug gradual nce nyob rau hauv nws txhais tes, thiab cov ntaub ntawv sab tej zaum yuav ua tsawg tshaj li tej yav tas los teev arbitrary me me nqi.

Lub tswv yim tseem ceeb nyob rau hauv lub xam ntawm lub cheeb tsam ntawm tej geometric zoo yog xam lub cheeb tsam ntawm ib tug duab plaub, ces muaj pov thawj hais tias nws cov cheeb tsam yog sib npaug zos rau cov khoom ntawm qhov ntev ntawm lub dav. Thaum nws los txog rau Geometry, ces tag nrho cov Siv no yog ua los siv ib tug pas ntsuas thiab compass, thiab ces tus piv ntawm ntev mus dav yog ib tug muaj kuab muaj nqis. Thaum xam cov cheeb tsam ntawm ib txoj cai daim duab peb sab yuav txiav txim hais tias yog koj muab ib tug tom ntej no daim duab peb sab, ib tug duab plaub yog tsim. Nyob rau hauv lub cheeb tsam ntawm lub parallelogram yog xam nyob rau hauv ib tug zoo li tab sis me ntsis ntau tham txoj kev, nyob rau hauv tus duab plaub thiab ib tug daim duab peb sab. Nyob rau hauv lub cheeb tsam ntawm ib tug polygon yog xam los ntawm cov vajvoos peb sab muaj nyob rau hauv nws.

Nyob rau hauv kev txiav txim txoj kev hlub ntawm arbitrary, qhov no txoj kev tsis haum rau qhov nkhaus. Yog hais tias peb ua nws mus rau hauv ib tug neeg squares, nws yuav nyob twj ywm unfilled qhov chaw. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, sim siv ob coats, nrog voos saum toj no thiab hauv qab no, raws li ib tug tshwm sim ntawm cov neeg xws li lub teeb ntawm cov nuj nqi thiab tsis muaj xws li. Tseem ceeb no yog ib txoj kev mus ua txhaum cov voos. Tsis tas li ntawd, yog hais tias peb coj tus so ntau thiab ntau txo, lub cheeb tsam ntawm sab saum toj thiab hauv qab yuav tsum sib rau ib tug tej yam muaj nuj nqis.

Nws yuav tsum rov qab mus rau ib txoj kev nkauj nraug mus rau hauv voos. Muaj ob nrov txoj kev.

Riemann twb muaj kev txhais ntawm lub integral, tsim los ntawm Leibniz thiab Newton, raws li cov cheeb tsam ntawm subgraph. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, peb pom tias ib daim duab uas muaj ib tug tej yam muaj pes tsawg tus ntawm ntsug voos tau los mus faib lub luv. Thaum rhuav ib tug txo muaj ib tug txwv uas txo cheeb tsam ntawm xws li ib tug duab, qhov no txwv yog hu ua lub Riemann ib ntawm ib tug muaj nuj nqi rau ntawm ib lub luv.

Ib tug thib ob txoj kev yog mus txua lub Lebesgue ib, muaj raws nyob rau hauv lub fact tias nyob rau hauv lub qhov chaw ntawm kev sib cais tsim cheeb tsam nyob rau hauv ib feem ntawm lub integrand thiab compiling ces tus ib sum ntawm lub qhov tseem ceeb tau nyob rau hauv cov qhov chaw, nyob Team sib faib nws txoj kev khwv ntawm qhov tseem ceeb, thiab ces summed nrog cov coj kev ntsuas rov qab dluab ntawm cov integrals.

niaj hnub pab

Ib tug ntawm lub ntsiab kev pab rau txoj kev tshawb no ntawm differential thiab integral calculus Fikhtengol'ts sau - "ntawm lub differential thiab integral calculus." Nws phau ntawv yog ib tug yuav tsum muaj lub cuab tam rau txoj kev tshawb no ntawm zauv tsom xam, uas tau tiv thaiv ntau tshooj thiab txhais mus ua lwm yam lus. Tsim rau menyuam kawm ntawv thiab rau ib ntev lub sij hawm siv nyob rau hauv ib tug ntau yam ntawm cov tsev kawm ntawv raws li ib tug ntawm lub ntsiab kev pab cuam ntawm txoj kev tshawb no. Nws muab theoretical ntaub ntawv thiab cov tswv yim kev txawj ntse. Thawj luam tawm nyob rau hauv 1948.

Algorithm kev tshawb fawb muaj nuj nqi

Mus tshawb txoj kev ntawm differential calculus muaj nuj nqi, koj yuav tsum ua raws li yog twb muab algorithm:

1. Nrhiav sau rau ntawm cov nuj nqi.
2. Nrhiav cov keeb kwm ntawm qhov muab kab zauv.
3. Xam lub extremes. Ua li no, peb xam cov derivative thiab tus taw tes qhov twg nws yog sib npaug zos rau zero.
4. Peb tus tus nqi tau nyob rau hauv Eq.

Hom ntawm differential sib npaug

Control ntawm thawj thiaj li (txwv tsis pub, differential calculus ntawm ib tug nce mus nce los) thiab lawv hom:

• Nrog separable variables kab zauv: f (y) dy = g (x) dx.
• Qhov yooj yim kab zauv los yog differential calculus muaj nuj nqi ntawm ib tug nce mus nce los, muaj lub mis: y '= f (x).
• Lub linear thawj txiav txim nonuniform tswj: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli differential kab zauv: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Kab zauv tag nrho differentials nrog: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Lub differential sib npaug ntawm ob txhais kev txiav txim thiab lawv hom:

• Homogeneous linear thib ob kev txiav txim differential kab zauv nrog rau qhov ^{coefficients: y n + py '+ qy} = 0 p, q yog R.
• Inhomogeneous linear thib ob kev txiav txim differential kab zauv nrog rau qhov coefficients ^{nqi: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogeneous linear differential ^{kab zauv: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, thiab inhomogeneous thib ob kev txiav txim ^{equation: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Txawv sib npaug ntawm ntau dua kev txiav txim thiab lawv hom:

• Lub differential kab zauv, uas yuav txo tau ntawm qhov ^{kev txiav txim: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Ib tug linear kab zauv ntawm kev ua ^{_{homogeneous: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, thiab ^{_{inhomogeneous: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Cov qib kev daws qhov teeb meem nrog rau cov differential kab zauv

Nrog kev pab los ntawm tej thaj chaw deb tswj yog solved tsis tau tsuas yog kev kawm txog zauv los yog lub cev muaj teeb meem, tab sis kuj ntau yam teeb meem ntawm biology, economics, Sociology thiab lwm tus neeg. Dua li ntawm qhov ntau yam ntawm cov ntsiab lus, yuav tsum ua raws li ib tug tib logic ib theem zuj zus rau kev daws cov teeb meem no:

1. Yog nqus tau mus tswj. Ib tug ntawm cov feem ntau nyuaj theem, uas yuav tsum tau nyiaj pab ntau tshaj cov neeg, vim hais tias tej kev yuam kev yuav ua rau kiag li lawm tau. Nws yog tsim nyog los noj mus rau hauv tus account tag nrho cov yam tseem ceeb rau cov txheej txheem thiab txiav txim seb thawj zaug tej yam kev mob. Nws yuav tsum raug raws li cov lus tseeb thiab cov zajlus kom xaus.
2. Daws sib npaug. Qhov no tus txheej txheem yog yooj yim mus rau tus thawj point, vim nws yuav tsum tau tsuas nruj kev siv ntawm zauv.
3. Tsom xam thiab kev ntsuam xyuas ntawm kev soj ntsuam. Muab tshuaj yuav tsum tau soj ntsuam rau lub installation ntawm cov tswv yim thiab theoretical nqi ntawm cov kev tshwm sim.

Ib qho piv txwv ntawm txoj kev siv ntawm differential sib npaug rau hauv cov tshuaj

Siv cov chaw taws teeb tswj nyob rau hauv lub teb ntawm cov tshuaj yog pom nyob rau hauv kev tsim kho ntawm epidemiological zauv qauv. Peb yuav tsum tsis txhob hnov qab tias cov equations kuj pom nyob rau hauv ib thiab Science News for KIDS, uas yog nyob ze rau qhov cov tshuaj, vim hais tias nws plays ib tug tseem ceeb luag hauj lwm txoj kev kawm sib txawv ntawm cov lom coob thiab tshuaj dab nyob rau hauv tib neeg lub cev.

Nyob rau hauv qhov kev piv txwv, cov phaum mob kis kab mob muaj peev xwm yuav kho nyob rau hauv ib tug raug rho tawm lub zej lub zos. Lub inhabitants raug muab faib ua peb yam:

• Kis kab mob, tus xov tooj ntawm x (t), uas muaj ntawm cov neeg, mob muaj, txhua yam uas yog kab mob (ncu tus kab mob lub sij hawm yog luv luv).
• Qhov thib ob hom muaj xws li raug cov neeg y (t), yuav kis tau kab mob los ntawm kev sib cuag nrog mob.
• Qhov thib peb hom muaj xws li refractory neeg z (t), uas yog tiv thaiv kab mob los yog kev poob vim muaj mob.

Number ntawm cov neeg lossi, kom yug, tej yam ntuj tso neeg tuag thiab tsiv teb tsaws yog tsis suav hais tias. Thaum cov tub ntxhais yuav tsum muaj ob tug hypotheses.

Feem Pua tus kab mob ntawm tej lub sij hawm point yog sib npaug zos rau x (t) y (t) (raws li assumption rau cov kev tshawb xav hais tias cov xov tooj ntawm tus neeg mob nyob rau hauv kev faib ua feem rau cov xov tooj ntawm cov kev sib tshuam ntawm cov neeg mob thiab teb neeg, uas nyob rau hauv thawj approximation yog xwm yeem mus x (t) y (t)), nyob rau hauv yog li ntawd tus xov tooj ntawm tus neeg mob yog nce, thiab tus naj npawb ntawm raug decreases ntawm ib tus nqi uas yog xam los ntawm cov mis taus (t) y (t) (a> 0).

Number of non-teb lus tsiaj uas tuag lawm los yog kis tau kev tiv thaiv, muaj zog ntawm ib tus nqi uas yog xwm yeem mus rau tus xov tooj ntawm tus neeg mob, bx (t) (b> 0).

Raws li ib tug tshwm sim, koj yuav tau teem ib lub system ntawm sib npaug nrog rau tag nrho cov peb indicators rau lub hauv paus ntawm nws cov lus xaus.

QAUV siv economics

Txawv calculus yog feem ntau siv nyob rau hauv nyiaj txiag tsom xam. Lub ntsiab hauj lwm nyob rau hauv lub economic tsom xam yog hais tias yuav kawm txog cov qhov tseem ceeb ntawm kev khwv nyiaj txiag, uas yog sau nyob rau hauv daim ntawv ntawm cov nuj nqi. Nws yog siv nyob rau hauv kev daws teeb meem xws li kev hloov nyob rau hauv cov nyiaj khwv tau them se tsub kom sai li sai tau tom qab, nkag nqi, kev hloov nyob rau hauv cov nyiaj tau los thaum hloov tau tus nqi ntawm cov khoom, nyob rau hauv dab tsi kev faib ua feem yuav hloov los ntawm so ua hauj lwm nrog cov tshiab cov khoom siv. Yuav kom daws tau tej teeb meem, nws yuav tsum tau los mus tsim ib tug kev sib txuas lus muaj nuj nqi ntawm cov khoom tsiaj, uas, tom qab tau kawm los ntawm differential calculus.

feem ntau nws yog tsim nyog los nrhiav tau cov feem ntau pom kev nyob rau hauv lub economic kheej: nyiaj pab ntau tshaj productivity, lub siab tshaj plaws nyiaj khwv tau los, kawg tus nqi thiab thiaj li nyob. Txhua xws tivthaiv yog ib tug muaj nuj nqi ntawm ib tug los yog ntau tshaj cov lus. Piv txwv li, lub ntau lawm yuav suav hais tias raws li ib tug muaj nuj nqi ntawm ua hauj lwm thiab capital. Nyob rau hauv no kev twb kev txuas, nrhiav ib tug haum tus nqi yuav tsum raug txo kom nrhiav lub siab tshaj plaws los yog yam tsawg kawg nkaus ntawm ib tug muaj nuj nqi ntawm ib tug los yog ntau tshaj cov tsiaj ntawv.

Tej teeb meem ua ib tug hauv chav kawm ntawv ntawm extremal teeb meem nyob rau hauv lub economic teb, rau cov uas koj xav tau differential calculus. Thaum lub economic qhia yuav tsum tau txo los yog maximize raws li ib tug muaj nuj nqi ntawm lwm yam tsis, lub increment piv tshaj plaws taw tes muaj nuj nqi rau cov nqe lus yuav yuav pes tsawg yog hais tias tus increment ntawm lub cav nyhav pes tsawg. Txwv tsis pub, thaum tej cwj pwm kev nyhav mus rau ib tug tej yam zoo los yog tsis zoo nqi, lub teev point yog tsis haum, vim hais tias los ntawm kev ua los yog zuj zus lawm lub cav yuav raug hloov nyob nqi nyob rau hauv cov yam kev taw qhia. Nyob rau hauv differential calculus terminology, qhov no yuav txhais hais tias yuav tsum tau tej yam kev mob rau siab tshaj plaws ua yog ib tug pes tsawg tus nqi ntawm nws cov derivative.

Cov kev khwv nyiaj txiag yog tsis yooj yim dua teeb meem uas nrhiav tau qhov extremum ntawm ib tug muaj nuj nqi ntawm ob peb ntau yam, vim hais tias nyiaj txiag ntsuas yog ua los ntawm ntau yam tseem ceeb. Tej teeb meem zoo to taub nyob rau hauv cov kev tshawb xav ntawm kev khiav dej num ntawm ob peb ntau yam, txoj kev xam lub differential. Tej teeb meem xws li tsis tau tsuas yog maximized thiab nyoog muaj nuj nqi, tab sis kuj cov kev txwv. Cov lus nug no hais txog rau zauv programming, thiab lawv yog solved nrog kev pab los ntawm qhia tshwj xeeb uas tsim txoj kev no kuj raws li nyob rau hauv no ceg ntawm science.

Ntawm cov kev differential calculus siv nyob rau hauv kev khwv nyiaj txiag, ib qho tseem ceeb seem yog lub qhov kawg kev kuaj. Nyob rau hauv lub economic kheej, lub sij hawm hais txog ib tug txheej ntawm txoj kev ntawm kev tshawb fawb ntawm nce mus nce los ua tau zoo thiab tau thaum koj hloov qhov ntim ntawm lub creation, noj, raws li nyob rau hauv kev tsom xam ntawm lawv kev txwv qhov tseem ceeb. Tswj hais xam tau tias yog derivative los yog ib nrab derivatives nrog ob peb ntau yam.

Txawv calculus ntawm ob peb ntau yam - ib tug tseem ceeb lub npe ntawm zauv tsom xam. Rau kev tshawb kom ntxaws, koj muaj peev xwm siv ntau yam ntawm cov kev qhia pab rau cov kawm ntawv qib siab hauv tsev. Ib qho ntawm feem nto moo tsim Fikhtengol'ts - "ntawm lub differential thiab integral calculus." Yuav ua li cas npaum li cas ntawm lub npe rau hauv kev daws ntawm differential sib npaug ntawm loj tseem ceeb rau muaj cov kev txawj ntse mus ua hauj lwm nrog integrals. Thaum muaj ib tug differential calculus zog ntawm ib tug nce mus nce los, qhov kev txiav txim yuav yooj yim dua. Txawm tias, nws yuav tsum tau muab sau tseg, nws li nram no tib yam yooj yim cov kev cai. Nyob rau hauv kev xyaum, mus soj ntsuam rau cov kev ua ntawm cov differential calculus, cia li ua raws li cov twb muaj lawm twb algorithm, uas yog muab nyob rau hauv high school, thiab tsuas yog ib tug me ntsis nyuab nrog cov kev taw qhia tshiab ntau yam.