Geometric kev vam meej. QAUV rau kev txiav txim siab

Xav txog ib tug uake.

7 28 112 448 1792 ...

Heev kom meej meej qhia hais tias tus nqi ntawm tej yam ntawm nws lub ntsiab ntau tshaj yav dhau los raws nraim plaub lub sij hawm. Yog li ntawd, qhov no series yog ib tug mob.

geometrical kev vam meej hu ua infinite ib theem zuj zus ntawm tus xov tooj, lub ntsiab feature uas yog hais tias lub nram qab no tus xov tooj yog tau los ntawm cov saum toj no los ntawm txawj los ntawm ib co tseeb tooj. Qhov no yog qhia los ntawm cov nram qab no mis.

_{ib tug z +1 = ib z · q} , qhov twg z - tus naj npawb ntawm cov xaiv caij.

Raws li, z ∈ N.

Ib lub sij hawm thaum lub tsev kawm ntawv yog kawm geometric kev vam meej - 9th grade. Qauv no yuav pab to taub lub tswvyim:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 6 2 ...

Raws li cov ntawm no lub mis, lub kev vam meej ntawm lub denominator tej zaum yuav pom raws li nram no:

Tsis q, los yog b _z tsis tau pes tsawg. Tsis tas li ntawd, txhua yam ntawm lub ntsiab ntawm ib tug series ntawm cov zauv mob yuav tsum tsis txhob yuav pes tsawg.

Raws li, mus saib tau tus xov tooj tom ntej ntawm ib tug xov tooj, muab rau tom kawg ntawm q.

Txhais kom meej no kev vam meej, koj yuav tsum qhia kom meej rau thawj lub caij ntawm nws thiab lub denominator. Tom qab ntawd nws yog tau mus nrhiav ib yam ntawm cov nram qab no cov tswv cuab thiab lawv npaum li cas.

hom

Nyob rau hauv lub q thiab ib tug _1, qhov no kev vam meej yog muab faib ua ob peb hom:

• Yog hais tias ib tug _1, thiab q yog ntau tshaj ib tug, ces ib theem - ua nrog txhua successive caij ntawm ib tug geometric kev vam meej. Piv txwv ntawd yog ntxaws hauv qab no.

Piv txwv li: ib tug ₁ = 3, q = 2 - ntau dua li kev sib sau, ob qho tib si tsis.

Ces ib tug sib lawv liag ntawm tus xov tooj yuav tsum muab sau raws li:

3 6 12 24 48 ...

• Yog hais tias | q | tsawg tshaj li ib, piv txwv li, nws yog sib npaug rau npaug los ntawm division, qhov muaj mob zoo li no tej yam kev mob - zuj zus lawm geometric kev vam meej. Piv txwv ntawd yog ntxaws hauv qab no.

Piv txwv li: ib tug ₁ = 6, q = 1/3 - ib tug ₁ yog ntau tshaj ib tug, q - tsawg.

Ces ib tug sib lawv liag ntawm tus xov tooj yuav tsum muab sau raws li nram no:

Lub rau hli ntuj 2 2/3 ... - tej lub caij ntau ntsiab li ntawd, yog 3 lub sij hawm.

• Alternating. Yog hais tias q <0, lub cim ntawm cov xov tooj ntawm ib theem zuj zus alternating lossi hais txog ntawm ib tug _1, thiab lub ntsiab ntawm tej kev nce los yog txo.

Piv txwv li: ib tug ₁ = -3, q = -2 - yog ob leeg tsawg tshaj li zero.

Ces ib tug sib lawv liag ntawm tus xov tooj yuav tsum muab sau raws li:

3, 6, -12, 24, ...

mis

Rau yooj yim siv, muaj ntau ntau yam duab progressions ntawm cov qauv:

• Formula z-th lub sij hawm. Nws tso cai rau muab xam rau ntawm lub caij nyob rau hauv ib lub xov tooj tsis muaj xam lub yav dhau los cov xov tooj.

Piv txwv li: q = 3, ib tug = ₁ 4. yuav tsum tau los mus laij ib tug plaub lub caij muaj mob.

Tshuaj: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Lub sum ntawm cov thawj ntsiab, uas nws tus xov tooj yog sib npaug zos rau z. Nws tso cai rau muab xam rau ntawm lub sum ntawm tag nrho cov ntsiab nyob rau hauv ib tug ib theem zuj zus mus rau ib tug _z inclusive.

≠ 0, yog li, q yog tsis 1 - (q 1) Txij thaum (1- q) yog nyob rau hauv lub denominator, ces.

Ceeb toom: Yog hais tias q = 1, ces tus mob yuav tau sawv cev ib tug xov tooj ntawm endlessly rov qab ua dua lub xov tooj.

Nyiaj exponentially piv txwv: ib tug ₁ = 2, q = -2. Xam S _5.

Tshuaj: S ₅ = 22 - xam mis.

• Nyiaj yog | q | <1 thiab thaum z nyhav infinity.

Piv txwv li: ib tug ₁ = _2, q = 0.5. Nrhiav cov sum.

Tshuaj: S _z = 2 x = 4

Yog hais tias peb xam lub sum ntawm ob peb cov tswv cuab ntawm phau ntawv, koj yuav pom tias nws yog tseeb cog lus rau plaub.

S _z = + 1 + 2 0.5 + 0.25 + 0,125 + 0.0625 = 3.9375 4

Ib txhia zog:

• Ib tug yam ntxwv vaj tse. Yog hais tias cov nram qab no mob Nws tuas rau tej z, ces muab ib tug zauv series - ib tug geometric kev vam meej:

ib tug _z ² = Ib tug _{z -1} · Ib tug _{z + 1}

• Nws tseem yog lub square ntawm yam tsawg yog exponentially los ntawm txoj kev sib ntxiv ntawm cov plaub fab ntawm lub lwm yam ob tug zauv nyob rau hauv tej muab kab, yog hais tias lawv yog equidistant los ntawm lub caij.

² _z = ib _{z - t} ² ₊ ib _z + _t ² qhov twg t - qhov kev ncua deb ntawm cov zauv.

• Lub ntsiab txawv los ntawm q lub sij hawm.
• Lub logarithms lub ntsiab ntawm kev vam meej raws li tau zoo tsim ib tug vam meej, tab sis cov xam, uas yog, lawv txhua tus ntau tshaj yav dhau los ib tug los ntawm ib tug tej yam muaj pes tsawg tus.

Piv txwv ntawm ib co classical teeb meem

Yuav kom to taub zoo dua li ib tug duab kev vam meej, nrog rau cov kev txiav txim siab piv txwv rau cov qib 9 yuav pab tau.

• Cov ntsiab lus uas thiab tej yam kev mob: ib tug ₁ = 3, ib tug ₃ = 48. xyuas q.

Tshuaj no: txhua tus successive caij nyob rau hauv ntau tshaj yav dhau los q lub sij hawm. Nws yog tsim nyog los qhia ib co ntsiab los ntawm lwm yam ntawm denominator.

Thiaj li, ib tug ₃ = q ² · ib tug ₁

Thaum hloov rau cov tsis q = 4

• Tej yam kev mob: ib tug ₂ = 6, ib tug = ₃ 12. Xam S _6.

Tshuaj: Ua li no, nws suffices mus nrhiav q, thawj lub caij thiab hloov mus rau hauv lub mis.

₃ = q · _2, thiaj li, q = 2

ib tug ₂ = q · Ib tug _1, yog li ib = ₁ 3

S = ₆ 189

• · Ib tug ₁ = 10, q = -2. Nrhiav cov plaub lub caij ntawm kev vam meej.

Tshuaj: nws yog txaus los qhia cov plaub caij los ntawm tus thawj thiab los ntawm cov denominator.

₄ ³ = q · a = ₁ -80

Daim ntawv thov piv txwv:

• Bank neeg tau pab lub sum ntawm 10,000 rubles, nyob rau hauv uas txhua txhua xyoo tus neeg kom tus thawj xib fwb nyiaj yuav muab ntxiv 6% ntawm nws ho. Yuav ua li cas tau nyiaj ntau yog nyob rau hauv lub account tom qab 4 xyoo?

Tshuaj: Tus nqi sib npaug zos rau 10 txhiab rubles. Yog li ntawd, ib lub xyoo tom qab cov kev nqis peev nyob rau hauv lub account yuav tsum yog tus nqi sib npaug zos rau 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Raws li, qhov nqi nyob rau hauv lub account txawm tias tom qab ib xyoos yuav tsum qhia raws li nram no:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Uas yog, txhua lub xyoo tus nqi ntau zog rau 1,06 lub sij hawm. Li no, mus nrhiav tau tus naj npawb ntawm account tom qab 4 lub xyoo, nws suffices mus nrhiav ib tug thib plaub lub caij muaj mob, uas yog muab thawj lub caij sib npaug zos rau 10 txhiab, thiab cov denominator sib npaug zos rau 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Piv txwv ntawm cov teeb meem nyob rau hauv lub xam ntawm lub sum ntawm:

Nyob rau hauv ntau yam teeb meem uas siv cov geometric kev vam meej. Ib qho piv txwv ntawm kev nrhiav cov sum tej zaum yuav teem raws li nram no:

ib tug ₁ = 4, q = 2, xam S _5.

Tshuaj: tag nrho cov tsim nyog cov ntaub ntawv rau lub xam paub, tsuas hloov lawv mus rau hauv lub mis.

S ₅ = 124

• ib tug ₂ = 6, ib tug = ₃ 18. Xam cov sum ntawm cov thawj rau cov ntsiab.

tshuaj:

Lub Geom. qhov kev kawm ntawm txhua lub caij ntawm lub tom ntej no loj tshaj yav dhau los q lub sij hawm, uas yog, los xam cov nyiaj uas koj yuav tsum paub lub caij ib tug ₁ thiab denominator q.

ib tug ₂ · q = ₃

q = 3

Ib yam li ntawd, yuav tsum tau mus nrhiav tau ib tug _{1, 2} thiab paub q.

ib tug ₁ · q = ₂

ib tug ₁ = 2

Thiab ces nws suffices tus lub npe hu cov ntaub ntawv mus rau hauv cov mis nqi.

S ₆ = 728.